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2020年华南师范大学数学分析考研真题及解答
2020年华南师范大学数学分析考研真题及解答
题目一、计算题
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
题目二、计算题
(1)求, 其中
(2)求,其中
(3)求
(4)求
其中为与的交线。
题目三、(网络忘记)
题目四、设在上连续,在极限存在,证明:
(1)在上有界
(2)在区间上一致连续
题目五、判断敛散性
(1)
(2)
题目六、设是平面上点集合,证明有极限的充分必要条件:,存在, 当时,成立.
题目七、设对连续,有界,证明连续。
题目八、(网络忘记)
题目九、求曲面积分
其中为上半球面,方向向上。
解答
题目一、计算题(本大题给出求极限的几种典型方法,必掌握好)
(1)
(2)考察级数
根据比值法
故级数收敛,所以其通项极限为0.即
(3)令, 则
(4)
(5)
题目二、计算题(基础题型,强调双基)
(1)求, 其中
解:
所以
(2)求,其中
所以
所以
(3)求
令, 则
(4)求
其中为与的交线。
曲线
其中. 所以
题目四、设在上连续,在极限存在,证明:
(1)在上有界
(2)在区间上一致连续
证明: 取, 因为存在,所以存在使得
则
因为在上连续,所以在上连续,所以在上有界,即存在使得
因此
则在上有界。
, 因为存在,根据柯西准则,所以存在使得
因为在上连续,所以在上连续,所以在上一致连续。所以存在使得
对于, 当时, 则必有
或者
或者
无论那种情况均有
因此函数在上一致连续。
题目六、设是平面上点集合,证明有极限的充分必要条件:,存在, 当时,成立.
证明: 关于数列的柯西法则时教材中典型例题,本题时送分题。
, 因为有极限, 所以存在满足
故
反之,取, 根据条件,存在满足
所以
故
所以是有界点列,故存在收敛子列, 设子列收敛于.
, 存在, 满足
又条件知道存在满足
所以当时,取, 则, 则
这九证明了有极限。
题目七、设对连续,有界,证明连续。
证明:
题目九、求曲面积分
其中为上半球面,方向向上。
解:作辅助平面与构成封闭曲面围成的区域, 其法方向向外,复合高斯定理条件,应用高斯公式
应用球面坐标变换
所以
因此
其中. 所以
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